Category: ญาณวิทยา

Philosophy of Knowledge

Philosophy of Knowledge

อ.ดร.เอนก สุวรรณบัณฑิต

เมื่อกล่าวถึง “ปรัชญาความรู้” ย่อมทำให้ย้อนนึกไปถึงศาสตร์สำคัญคือ ญาณวิทยา (epistemology) ที่เป็นวิชาว่าด้วยความรู้ หรือที่ฝ่ายนักปรัชญาในยุคใหม่เรียกว่า ทฤษฎีความรู้ (theory of knowledge) สิ่งที่สนใจในวงรอบความคิดนี้ย่อมไม่พ้นขอบเขตการศึกษาของญาณวิทยา ทั้งนี้ย่อมศึกษาผ่านประวัติศาสตร์การวิวัฒนาการของวิชาการความรู้ (science of knowledge) ในฐานะบริบทเชิงมโนทรรศน์ของความรู้ (conceptual context of knowledge) ในแต่ละยุค แต่ละกระบวนทรรศน์ความคิด (paradigm of thought) ซึ่งสรุปลงเป็นแต่ละลัทธิทางปรัชญา โดยขบคิดกันใน 2 บริบทสำคัญคือ วิธีการได้มาซึ่งความรู้และประเภทของความรู้ที่เกิดขึ้น

Continue reading “Philosophy of Knowledge”

วิจัยปรัชญากับการนิยาม


การวิจัยในประเทศไทยมีความเห็นต่างกันบางเรื่องในหมู่กรรมการผู้ควบคุม/สอบการวิจัยและวิทยานิพนธ์ เช่น การทำวิทยานิพนธ์ปรัชญาควรมีการนิยามศัพท์หรือไม่ ในทางปรัชญาย่อมต่องเสนอว่าไม่จำเป็นต้องมีทุกเล่ม เพราะงานปรัชญาบางแบบเป็นงานแสวงหาคำนิยามของเรื่องนั้นๆ ดังนั้นจะนิยามก่อนไม่ได้ แต่หากจะนิยามก็อาจทำได้กว้างๆ ให้ทราบว่างานนั้นจะพิจารณาเรื่องนั้นๆในความหมายใดในแง่ทิศทาง แต่ต้องระบุว่าที่สุดแล้ว งานปรัชญาคือรากฐานของการนิยามเรื่องนั้นๆ ซึ่งมีได้มากกว่าหนึ่ง สมมติเราทำวิทยานิพนธ์เรื่อง Mind in Buddhist Philosophy งานนี้เรากำลังจะศึกษาว่า Mind ในพุทธปรัชญาคืออะไร จะนิยามก่อนได้อย่างไร เพราะยังไม่ได้ศึกษาเลย แต่อาจพูดกว้างๆว่าเราศึกษาเรื่องนี้ในขอบเขตของ philosophy of mind เท่านี้ก็พอ ใครไม่เข้าใจก็แปลว่าไม่รู้เรื่องปรัชญา ไม่ควรเป็นกรรมการสอบ/ควบคุม

การเห็นตัวอย่างวิทยานิพนธ์ที่คนอื่นทำในโลกดีที่สุดครับ สังเกตดูว่ารูปแบบเขาเป็นอย่างไร แน่นอนว่าในทางปรัชญาไม่เคยเห็นวิทยานิพนธ์ปรัชญาที่มีรูปแบบให้คนเขียนนิยามศัพท์ก่อน เช่น Mind คืออะไร Buddhist Philosophy คืออะไร

เครดิต: ศ.สมภาร พรมทา

verfication by the indirect method

truthtable

verfication by the indirect method การทดสอบชุดการอ้างเหตุผล โดยวิธีตลบหลัง

ผู้แต่ง : พระปรียะพงษ์  คุณปัญญา

ผู้ปรับแก้ :  กีรติ  บุญเจือ

การทดสอบด้วยวิธีการตลบหลังนี้  เป็นวิธีการที่ใช้ทดสอบความสมเหตุสมผลและความไม่สมเหตุสมผลของชุดการอ้างเหตุผล  ซึ่งถ้าสังเกตให้ดีจะพบว่า  วิธีการนี้ใช้ทดสอบความสมเหตุสมผลและไม่สมเหตุสมผลนั้นทำให้ได้ผลเร็ว  โดยการสังเกตตารางความจริงเพียงบรรทัดเดียวสำหรับตารางของแบบทดสอบ  นั่นก็หมายความว่า เฉพาะบรรทัดที่มีชุดของการอ้างเหตุผลที่ไม่สนับสนุนหรือขัดแย้งนั้นเอง ซึ่งเมื่อเราสังเกตเห็นได้อย่างนี้แล้ว เราก็จะสามารถอธิบายได้ถึงความไม่สมเหตุสมผลของชุดการอ้างเหตุผลดังกล่าวว่า  ซึ่งเหตุผลดังกล่าวหรือบรรทัดดังกล่าวนั้นได้

ในชุดของการอ้างเหตุผลนั้น เราจะสังเกตเห็นได้ว่า  ทุกๆ ชุดของการอ้างเหตุผลนั้นจะเป็นจริงหรือเป็นเท็จได้ก็ต่อเมื่อ ชุดของการอ้างเหตุผลนั้นเป็นจริงทั้งหมด  เมื่อชุดของการอ้างเหตุผลเป็นจริงทั้งหมดแล้วก็จะส่งผลต่อข้อสรุปให้เป็นจริงไปด้วย   นั้นก็แสดงว่าชุดของการอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผล  แต่ถ้าในกรณีที่ชุดของการอ้างเหตุผลเป็นจริงทุกกรณี  แต่ข้อสรุปกลับกลายเป็นเท็จ  ก็ต้องตัดสินว่าข้อสรุปของการอ้างเหตุผลดังกล่าวนั้นเป็นจริง  สมเหตุสมผล ทุกประการ

การทดสอบโดยวิธีตลบหลัง ( Verification  by  the Indirect Method ) เริ่มจากการแทนค่าของชุดการอ้างเหตุผลด้วย  F  โดยหาความจริงของชุดการอ้างเหตุผลเลียงไปตามลำดับ  โดยข้อสรุปของชุดการอ้างเหตุผลดังกล่าวนั้น เป็น  F  ของชุดการอ้างเหตุผล เช่น  T    F = F  F v F = F  T ´ F  หรือ F ´ T หรือ  F ´ F = F

ลำดับต่อมาหลังแทนค่าของชุดการอ้างเหตุผลด้วยสัญลักษณ์แล้ว  ก็ต้องผิสุจน์ชุดการอ้างเหตุผลเพื่อหาความจริงของความสมเหตุสมผลในชุดการอ้างเหตุผลดังกล่าว  โดยข้ออ้างของชุดการอ้างเหตุผลที่เป็นจริงนั้นจะต้องแทนค่าด้วย  T   ถ้าชุดการอ้างเหตุผลนั้นไม่เป็นจริงก็จะแทนค่าด้วย  F

ตัวอย่างที่  1.  ถ้าข้าพเจ้าจบปริญญาเอก  ข้าพเจ้าจะต้องมีงานทำ  แต่ทว่าข้าพเจ้าไม่จบปริญญาเอก  ข้าพเจ้าก็จะไม่มีงานทำ (สมมติ ก   ข )

ขั้นที่  1. ตั้งโจทย์โดยแทนค่าชุดการอ้างเหตุผลด้วยสัญลักษณ์ตรรกวิทยา

ขั้นที่ 2.  ตั้งค่าให้   ´  เป็น  F   แล้วหาค่าความจริงของ  ข

ขั้นที่ 3.   ตั้งค่าให้ ( 1)  และ  (2)  เป็น  T  ( เป็นจริงทั้งคู่ ) เสร็จแล้วค่อยหาค่าความจริงของ  ก

จากขั้นตอนที่ 3 จะสังเกตเห็นได้ว่า  เมื่อแทนค่าให้  ( 2 ) ผลลัพท์จะมีค่าเป็น  F  ทันที ซึ่งถ้าแทนค่าในช่องที่ ( 1 )  ก็จะมีผลลัพท์เป็น  T  (ถูกต้อง)  ซึ่งทำให้ชุดของการอ้างเหตุผลดังกล่าวนี้ไม่สมเหตุสมผล  เพราะเป็นกรณีที่ชุดการอ้างเหตุผลที่เป็นจริงแล้วแต่ข้อสรุปเป็นเป็นเท็จ คือ ข้ออ้างไม่สนับสนุนข้อสรุปนั้นเอง  จึงตอบได้ว่า ไม่สมเหตุสมผล

ดังนั้น จากหลักการดังกล่าวมาแล้วนั้นพอสรุปได้ว่า

1.  ในชุดของการอ้างเหตุผลชุดหนึ่งๆ นั้นจะต้องพิจารณา ก็คือ  กรณีที่ชุดของการอ้างเหตุที่เป็นจริงด้วยกันทั้งหมดเท่านั้น

2. ในกรณีที่ ข้อสรุปเป็นเท็จเพียงกรณีเดียวก็ถือได้ว่าเป็นชุดข้ออ้างที่ไม่สมเหตุสมผล ถ้าหาข้อสรุปเป็นเท็จแล้วก็ต้องตัดสินได้ว่าสมเหตุสมผล

ส่วนกรณีที่ต้องการก็คือ  กรณีที่ข้อสรุปเป็น  F  ( เท็จ )  และข้ออ้างทุกข้ออ้างเป็น   T   ( จริง )  ถ้าเป็นกรณีดังกล่าวนี้ก็นับได้ว่าไม่สมเหตุสมผล  ถ้าไม่มีก็นับว่าสมเหตุสมผล

unrepresentative generalization

generalization

unrepresentative generalization ไม่ใช่ตัวแทนให้สรุป

ผู้แต่ง : รวิช  ตาแก้ว

ผู้ปรับแก้ :  กีรติ  บุญเจือ

 

ข้อนี้ก็เรื่องอุปนัยเหมือนประสบการณ์ที่ได้มาจากนั้นไม่เพียงแต่ไม่เพียงพอเท่านั้น   แต่เป็นประสบการณ์ที่ใช้ไม่ได้สำหรับข้อสรุปเข้าข่ายเนื้อหาไม่ถูกต้อง เพราะฉะนั้นจะไม่ได้ประสบการณ์มาจำนวนมากสักเพียงไรก็ไม่สามารถทำให้การอนุมานสมเหตุสมผลไปได้ เช่น

2.1 “พอขึ้นท่าเรือคลองเท่านั้นก็ถูกแท็กซี่ต้มเสียแล้วจะไปไว้ใจอะไรกับคนไทย” ย่อมจะเห็นได้ทันทีว่า ชาวต่างประเทศที่พูดเช่นนี้ถือเอาคนขับรถแท็กซี่เป็นตัวแทนของคนไทยทั้งชาติ      ซึ่งตามปกติแล้ว คนขับแท็กซี่ตามท่าเรือไม่ว่าท่าเรือไหนของโลกมักจะเป็นคนฉวยโอกาส ไว้ใจไม่สู้ได้เพราะคนโดยสารเป็นคนจรและไม่ค่อยจะรู้ราคาค่าโดยสาร จะเอาลักษณะของคนประเภทพิเศษจำนวนน้อยนี้มาเป็นลักษณะของคนไทยรวมได้อย่างไร ถ้าสมมติไม่ใช่คนขับแท็กซี่ แต่เป็นอาจารย์มหาวิทยาลัยเป็นคนต้มชาวต่างประเทศคนนั้น แน่นอนว่าเขามีสิทธิเพียงพอตามนัยตรรกวิทยาจะสรุปได้ว่า “ขนาดอาจารย์มหาวิทยาลัยยังไว้ใจไม่ได้เช่นนี้ สาอะไรกับคนอื่น เพราะฉะนั้นจะให้ไว้ใจคนไทยได้อย่างไร” ทั้งนี้ก็เพราะเป็นที่ยอมรับกันอยู่ว่า อาจารย์ในมหาวิทยาลัยต้องเป็นผู้ได้รับการคัดเลือกมาอย่างดี เพื่อเป็นแบบอย่างของความสุจริต การอ้างเหตุผลทำนองดังกล่าวนี้ ตรรกวิทยาเรียกว่า a fortiori argument อ่านว่า อาฟอร์ติออริ อาร์กิวเมนต์ (การอ้างเหตุผลที่หนักแน่นขึ้น) กล่าวคือ ขนาดอาจารย์มหาวิทยาลัยยังไว้ใจไม่ได้อย่างนี้ ก็มีเหตุผลหนักแน่นยิ่งขึ้นที่จะสรุปได้ว่า คนทั่วไปจะต้องยิ่งไว้ใจไม่ได้มากกว่านี้

2.2 “คนไทยเห็นจะพูดภาษาอังกฤษเก่งกันมาก เพราะโรงแรมโอเรียนเตลที่ผมไปพักอยู่นั้นบ๋อยพูดภาษาอังกฤษเก่งกันทุกคน”  กรณีนี้เช่นเดียวกัน บ๋อยที่มาเป็นบริกรในโรงแรม ซึ่งมี่ชาวอเมริกันมาพักเป็นส่วนมากอย่างโรงแรมโอเรียนเตล ซึ่งได้ชื่อว่ามีบริการดีเยี่ยม ย่อมได้รับการคัดเลือกทดสอบภาษาอังกฤษมาก่อน จึงเป็นคนประเภทพิเศษในเรื่องพูดภาษาอังกฤษ จะถือเป็นตัวแทนของคนไทยทั่วไปเรื่องนี้ไม่ได้

unoticed factor

unoticed factor  ตัวการรอดพ้นสายตา

ผู้แต่ง : กันต์สินี  สมิตพันธ์

ผู้ปรับแก้ :  กีรติ  บุญเจือ

ในการพิสูจน์แบบอุปนัย (induction) นั้น ความบกพร่องสำคัญอย่างหนึ่ง เรียกว่าตัวการรอดพ้นสายตา สมัยโบราณนั้น ใคร ๆ ก็เชื่อว่าโลกแบน ในยุคแรก แนวความคิดเกี่ยวกับเอกภพมีขอบเขตจำกัดมาก เนื่องจากพัฒนาการทางด้านแนวความคิด ประสบการณ์และเครื่องมือต่างๆ ยังอยู่ในวงแคบ คนโบราณจึงมีความเชื่อว่าโลกแบน เพราะมนุษย์รู้จักสังเกต และพยายามใคร่รู้ ปรากฎการณ์ทางธรรมชาติ ได้เห็นได้สัมผัสกับสิ่งแวดล้อมตามธรรมชาติเสมอมาแล้วก็เริ่มสังเกตจดจำ และเล่าต่อๆ กัน เช่น เมื่อมองออกไป รอบตัวเห็นพื้นดินราบดูออกไปไกล ๆ ก็ยังเห็นแบน จึงคิดกันว่าโลกแบน มองฟ้าเห็นโค้งคล้ายฝาชีหรือโดมมีดาวให้เห็นเคลื่อนข้ามศีรษะไปทุกคืนวัน อีกอย่างหนึ่งสมัยก่อนคนไม่สามารถออกไปดูนอกโลกได้ แล้วก็เห็นแค่แผ่นดินกว้างใหญ่ที่เหมือนแบนๆ เท่านั้น และในแต่ละวันไม่รู้สึกว่าเดินเป็นวงกลมแต่เดินทางตรง ฉะนั้นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไม คนสมัยก่อนจึงคิดว่า โลกเรานั้นแบน ซึ่งภายหลังก็มีหลักฐานแสดงให้เห็นว่าไม่ถูกต้อง

เรื่องค่านิยมของคนไทยส่วนใหญ่ก็เช่นกัน ตัวอย่างที่พอจะเห็นได้ชัดทุกยุคทุกสมัยคือ ด้านการสอบเข้าเรียนในมหาวิทยาลัย คนมักจะมองว่า พวกที่ได้เข้า หมอ นิติ วิศวะ หรือ คณะที่เข้ายากๆ มีเกียรติกว่า พวกที่เข้าคณะอื่น ๆ ทั้ง ๆ ที่เกียรติอยู่ที่ความดี ในการประกอบอาชีพนั้น ๆ ต่างหาก โลกมันเปลี่ยนแปลงทุกๆวัน ทั้งเทคโนโลยี วัฒนธรรมต่างๆมากมาย ทำให้ทุกอย่างเปลี่ยนไป แม้กระทั้งการศึกษาแต่ประเทศไทยนั้นการศึกษายังคงอ­ยู่ที่เดิมไม่เปลี่ยนไปไหน ค่านิยมเก่า ๆ ของพ่อ แม่ ลูกต้องสอบได้ วิศวะ หมอ เภสัช อะไรที่เป็นน่าเป็นตา ถ้าจะมองกันตามความเป็นจริงในปัจจุบัน ยังมีอาชีพอีกมากมาย ที่มีเงินเดือนสูงกว่าอาชีพเหล่านั้น แต่กล­ับไม่ได้รับความสนใจ คนไทยยึดติดกับสถาบัน ศักดิ์ศรี โอ้อวด ต่างๆนานาอะไรที่ใหม่ ๆ เข้ามาก็จะสนใจแต่สิ่งนั้น

อย่างไรก็ดี ค่านิยมนี้ก็ไม่ใช่มีแต่ข้อเสีย อย่างน้อย ๆ เพราะค่านิยม หมอ วิศวะ นิติ ค่านิยม มหาลัยดัง ๆ ก็ทำให้เด็กพยายามอ่านหนังสือ พยายามเรียน เพื่อให้ได้สิ่งที่ต้องการเพราะค่านิยมนี้ก็เป็นได้ จึงทำให้ประเทศได้พัฒนา ทั้งหมดทั้งมวลเป็นเพราะโลกทุนนิยม สถาบัน สอนให้ หาเงิน แต่ “ไม่สอนให้ใช้ชีวิตอย่างมีคว­ามสุข” เรียนไป เครียดไป เอาจริง ๆ แล้วไม่มีคนได้เรียนในสิ่งที่ตัวเองรักสักเท่าไร

truth – table

 การทดสอบความสมเหตุสมผลด้วยตารางความจริง

ผู้แต่ง : พระปรียะพงษ์  คุณปัญญา

ผู้ปรับแก้ :  กีรติ  บุญเจือ

ในการพิสูจน์ชุดของการอ้างเหตุผลโดยตารางนั้น เราจะต้องเริ่มจากการสมมติข้อความเชิงเดี่ยวแต่ละข้อความ  ด้วยสัญลักษณ์พร้อมด้วยเครื่องหมายสันธานที่ถูกต้อง  แล้วทำเป็นตารางขึ้นแทนด้วยสัญลักษณ์ตลอดถึงตรวจสอบถึงความถูกต้อง   ความสมเหตุสมผล ที่มีความเป็นไปได้หรือเป็นจริง   สมมติว่าข้อเสนอนั้นจริงทุกประการแล้ว  ข้อสรุปก็คงต้องจริงทุกกรณีโดยไม่มีข้อยกเว้น  ในกรณีดังกล่าวนี้ก็ถือได้ว่าเป็น เป็นชุดของการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผล  แต่ถ้ามีข้อเท็จเพียงกรณีเดียว  นั้นก็หมายความว่า  ชุดการอ้างเหตุผลดังกล่าวนั้น ไม่มีความสมเหตุสมผล เป็นเท็จ  เหตุผลประเภทนี้เรียกว่า เหตุผลเงื่อนไข (conditional  reasoning) นั่นก็หมายความว่า  ถ้าชุดของการอ้างเหตุผลทั้งหมดนั้นจริงทั้งหมดแล้ว ข้อสรุปต้องเป็นจริงทุกกรณีเสมอไป

ตัวอย่างที่หนึ่ง  จงทดสอบความสมเหตุสมผลต่อไปนี้

ถ้าข้าพเจ้าจบปริญญาเอก  ข้าพเจ้าก็จะต้องมีงานทำ  แต่ทว่าข้าพเจ้าไม่ได้จบปริญญาเอก ข้าพเจ้าก็จะไม่มีมีงานทำ / (สมมติ  ก = ข้าพเจ้าจบปริญญา   ข  = ข้าพเจ้าจะต้องมีงานทำ )

truthtable

อธิบายชุดของการอ้างเหตุผล  ในชุดการอ้างเหตุผลดังกล่าว มีข้อความเชิงเดี่ยว   2    ข้อความ  ซึ่งแต่ละข้อความก็จะมีความเป็นไปได้ของตน  โดยเฉพาะที่แตกต่างกันออกไป  เมื่อนำทั้ง   2  กรณีมารวมเข้าด้วยกันแล้วก็จะเกิดชุดของการอ้างเหตุผลที่มีความเป็นไปได้มากที่สุดเท่าที่จะมากได้ทั้งหมด  4  กรณี จากตารางช่องที่  5  จะสังเกตเห็นได้ว่าเป็นข้อสรุปนั้นมีกรณีที่ 1 (บรรทัดแรก) ที่ข้ออ้างจริงด้วยกันทั้งหมด แต่ข้อสรุปเป็นเท็จ ทำให้ชุดของการอ้างเหตุผลนั้นมีกรณีเป็นเท็จ ( F ) ถึงแม้ในชุดของการอ้างเหตุผลที่เหลือจะเป็นจริงทุกกรณีก็ตาม ก็ถือว่าชุดของการอ้างเหตุผลนั้นไม่แน่นอนใช้ไม่ได้  เพราะถ้าขืนสรุปต่อไปก็จะต้องถือว่าเป็นเหตุผลวิบัติ

ดังนั้น ชุดของการอ้างเหตุผลตัวนี้จึงไม่สมเหตุสมผล  เพราะการที่ข้าพเจ้าไม่ได้จบปริญญาเอก  ก็ไม่ได้หมายความว่าจะไม่มีงานทำ หรือจะหางานทำไม่ได้เสียเลยทีเดียว  เพียงแต่ว่าจบปริญญาเอกแล้วโอกาสที่จะได้งานทำดีๆ นั้นมันมีมากกว่าคนอื่นๆ เท่านั้นเอง เป็นต้น

trigonometry and network

trigonometry and network ตรีโกนมิติกับระบบเครือข่าย

ผู้แต่ง : รวิช  ตาแก้ว

ผู้ปรับแก้ :  กีรติ  บุญเจือ

การค้นพบตรีโกณมิตินับเป็นก้าวสำคัญในการพัฒนาปรัชญาจำนวนเลขของสำนักไพแธเกอเริสที่ว่า  เอกภพคือจำนวนเลข มาเป็น “เอกภพมีโครงสร้างเป็นอัตราส่วนตามรูปเรขาคณิต ซึ่งจัดได้เป็นเส้นตรง และเส้นตรงเหล่านี้ประกอบกันให้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้ ซึ่งมีด้านเป็นอัตราส่วนต่อกันตายตัว”

ผู้ค้นพบอัตราส่วนตรีโกณมิติคนแรกเท่าที่มีหลักฐานคือฮิปพาร์เคิสแห่งโรดส์ (Hipparchus of Rhodes ศต.2 ก.ค.ศ.)  ซึ่งพบอัตราส่วนความยาว 3 ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากว่าตายตัวดังนี้

สมมุติสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีความยาว 3, 4 และ 5 หน่วยตามลำดับ

trigonometry

a  :  b  =  4  :  5    เสมอไม่ว่าขนาดเท่าใด                  เรียกว่า  sine A

c  :  b  =  3  :  5                      ”                                เรียกว่า  cosine A

a  :  c  =  4  :  3                       ”                                เรียกว่า  tangent A

c  :  a  =  3  :  4                      ”                                 เรียกว่า cotangent A

ถ้ามุม A เปลี่ยนขนาดไป อัตราส่วนจะเปลี่ยนจำนวนไปแต่ก็จะเป็นอัตราส่วนตายตัวสำหรับมุมขนาดนั้น  ไม่ว่าสามเหลี่ยมที่มุม A ขนาดเดิมจะใหญ่หรือเล็กสักเท่าใดก็ตาม  ฮิพพาร์เคิสได้ทำตารางอัตราส่วนขนาดต่าง ๆ ไว้ใช้คำนวณระยะทางต่าง ๆ สร้างความประหลาดใจไว้มาก  แต่น่าเสียดายหลักฐานหายหมด  เรารู้แต่เพียงว่าทาเลอมิ(Ptolemy ศต.2) แห่งแอลิกแซนเดรียได้แจ้งไว้ว่าได้ความรู้มาจากฮีพพาร์เคิสและเพิ่มเติมให้สมบูรณ์ยิ่งขึ้น  ฮีรัน (Heron) ได้แสดงประสิทธิภาพของอัตราส่วนตรีโกณจากการเจาะอุโมงค์ลอดใต้ภูเขาโดยให้คนงานเจาะจากสองด้านให้ไปพบกันกลางทางได้สำเร็จ  อีเรอทาสเธอนิส (Eratosthenes ก.ค.ศ.276?-194?) คำนวณเส้นรอบโลก และทาเลอมิวัดขนาดและความไกลของดวงดาวต่าง ๆ ย้ำความเชื่อถือยิ่งขึ้นว่ามีระบบเครือข่ายที่สอดคล้องกันจริงทั้ง 3 ระบบ